AI产品经理必修:揭开算法的面纱(动态规划)

对于AI产品经理来说,掌握一些算fǎ是必要的。本文从是什么、解决什么问题、应用场景、应用过程和相关案例等几个方面,讲述了AI产品经理必修的动态规划算fǎ,希望对你有帮助。

乔治·桑塔亚纳说过,“那些遗忘过去的人注定要重蹈覆辙。”这句话放在问题qiú解过程中也同样适用。不懂动态规划的人会在解决过的问题上再次浪费时间,懂的人则会事半功倍。要了解这句话,得从动态规划的hán义说起。

一、什么是动态规划?

quora上有这样一个问题:

How should I explain dynamic programming to a 4-year old?底下有个42K赞同的X,是这样说的:

*writes down “1+1+1+1+1+1+1+1 =” on a sheet of paper*”What’s that equal to?”

*counting* “Eight!”

*writes down another “1+” on the left*

“What about that?”

*quickly* “Nine!”

“How’d you know it was nine so fast?””You just added one more”

“So you didn’t need to recount because you remembered there were eight!DynamicProgramming is just a fancy way to say ‘remembering stuff to save time later”

就不翻译了,相信大家都能看懂。

现在,我们来看一下动态规划的guān方定义

动态规划算fǎ是Xchāi分问题,定义问题状态和状态之间的关系,使得问题能够以递推(或者说分治)的方式去解决。

动态规划算fǎ的基本思想与分治fǎ类似,也是将待qiú解的问题分解为若干个子问题(阶段),按顺序qiú解子阶段,前一子问题的解,为后一子问题的qiú解X了有用的信息。在qiú解任一子问题时,列出各种可能的jú部解,X决策保留那些有可能达到最优的jú部解,丢弃其他jú部解。依次解决各子问题,最后一个子问题就是初始问题的解。

按照定义,动态规划的原理是将一个问题分解成子问题,逐渐qiú解jú部最优解并扩展,最终得出全jú最优解。但是我觉得的这个不是动态规划的核心思想,或者说,一个”大问题“之所以能用”动态规划解决,并不是因为它能chāi解成一堆小问题,而是这些”小问题“会不会被被重复调用。 

这个概念很重要,实际上很多问题都可以chāi解成小问题来解决,例如我们之前讲的tān心算fǎ,但这个区别决定了该选取哪种算fǎ 。

二、动态规划能解决什么问题?

如果一个问题满足以下两点,那么它就能用动态规划解决。

(1)问题的X依赖于问题的规模,也就是问题的所有X构成了一个数列。举个简单的例子,1人有2条tuǐ,2个人有4条tuǐ,n个人有多少条tuǐ?X是2n条tuǐ。这里的2n是问题的X,n则是问题的规模,显然问题的X是依赖于问题的规模的X是因变量,问题规模是自变量。因此,问题在所有规模下的X可以构成一个数列(f(1),f(2)…f(n)),比如刚刚“数tuǐ”的例子就构成了间隔为2的等差数列(0,2.4….2n) 。

(2)大规模问题的X可以由小规模问题的X递推得到,还是刚刚“数tuǐ” 的例子,显然f(n)可以甚于f(n-1) qiú得: f(n)= f(n-1)+2

三、动态规划的应用?

应用场景:动态规划比较合适的就是来qiú最优问题的,比如qiú最大值,最小值等等。它可以显著的降低复杂度,节约计算时间。所有的导航系统都采用了动态规划。

我们就是以导航为例来看看动态规划吧。

比如,我们想找到从X到广州的最短行车路线或者最快行车路线。当然,最直接的笨办fǎ是把所有可能的路线看一遍,然后找到最优的。

这种办fǎ只有在节点数是个位数的图中还行得通,当图的节点数(城市数目)有几十个的时候,计算的复杂度就已经让人甚至计算机难以接受了,因为所有可能路径的个数随着节点数的增长而成呈指数增长(或者说几何级数),也就是说每增加一个城市,复杂度要大一倍,显然我们的导航系统中不会用这种笨办fǎ。

以上面的问题为例,当我们要找从X到广州的最短路线时,我们先不妨倒过来想这个问题:假如我们找到了所要的最短路线(称为路线一),如果它经过郑州,那么从X到郑州的这条子路线(比如是X-> 保定->石家庄->郑州,称为子路线一),必然也是所有从X到郑州的路线中最短的。

在实际实现算fǎ时,我们又正过来解决这个问题,也就是说,要想找到从X到广州的最短路线,先要找到从X到郑州的最短路线。当然,聪明的读者可能已经发现其中的一个”漏洞”,就是我们在还没有找到全程最短路线前,不能肯定它一定经过郑州。不过没有关系,只要我们在图上横切一dāo,这一 dāo要保证将任何从X到广州的路一截二,如下图:

那么从广州到X的最短路径必须经过这一条线上的某个城市(图中蓝sè的菱形) 。我们可以先找到从X出发到这条线上所有城市的最短路径,最后得到的全程最短路线一定包括这些jú部最短路线中的一条,这样,我们就可以将一个”寻找全程最短路线”的问题,分解成一个个小的寻找jú部最短路线的问题。

只要我们将这条横切线从X向广州推移,直到广州为止,我们的全程最短路线就找到了。这便是动态规划的原理。采用动态规划可以大大降低最短路径的计算复杂度。

四、动态规划的过程?

当要应用动态规划来解决问题时,归根结底就是将动态规划chāi分成以下三个关键目标。

1. 建立状态转移方程

这一步是最难的,大部分人都被卡在这里。这步没太多的规律可说,只需X个思维: 当做已经知道f(1)~ f(n- 1)的值,然后想办fǎX它们qiú得f(n)。

2. 缓存并复用以往结果

这一步不难,但是很重要。如果没有合适地处理,很有可能就是指数和线性时间复杂度的区别。在我们上面的例子中,每加入一条横截线,线上平均有十个城市,从广州到X最多经过十五个城市,那么采用动态规划的计算量是 10×10×15,而采用穷举路径的笨办fǎ是 10 的 15 次方,前后差了万亿倍。

3. 按顺序从小往大算

这里的“小和“大”对应的是问题的规模,在这里也就是我们要从f(0), f(1).到f(n)依次顺序计算。这点从导航的例子来看,似乎显而易见,因为状态方程基本X了你只能从小到大一步步递推出最终的结果。

五、经典动态规划

我们来尝试用动态规划实现经典斐波那契数列

斐波那契数列: 0,1. 1,2,3,5,8, 13, 21,34.55, 89, 1443….

它遵循这样的规律:当前值为前两个值的和。

那么第n个值为多少?

我们用两种方fǎ来做比较:

方fǎ一:简单递归

如上所示,代码简单易懂,然而这代码却极其低效。

下图X展示qiú解f(6)的过程说明了其原因。如图,随着递归的深入,计算任务不断地翻倍!

方fǎ二:动态规划

先上代码。看不懂也没关系,看看如果完成这三个目标的就行了。

目标1,建立状态转移方程(完成)。也就是前面的f(n)= f(n-1)+ f(n- 2)。

目标2,缓存并复用以往结果(完成)。在线性规划解fǎ中,我们把结果缓存在results列表,同时在results[il = rsutsti11 + resultsti 2]中进行了复用。这相当于我们只需完成图2中红sè部分的计算任务即可,时间复杂度瞬间降为O(n) 。

目标3,按顺序从小往大算(完成)。 for循环实现了从0到n的顺序qiú解,让问题按着从小规模往大规模qiú解的顺序走。

堪称完美!

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